//
u leest...
Uncategorized

Eureka! – VKblog PI-dag

In het kader van de VK blog PI-dag neem ik een kijkje in het leven van de Griekse filosoof, maar tevens wiskundige Archimedes. Hij leefde van 287 tot 212 voor Christus en was de eerste die een nauwkeurige benadering van π gaf. Met zijn methode kwam hij tot de conclusie dat π ergens moest zitten tussen 3.1429 en 3.1408.

Ter herhaling, Pi is de omtrek van een cirkel die een diameter van 1 heeft. Het getal staat dus voor de verhouding tussen omtrek en diameter en is één van de meest gebruikte wiskundige constanten. Het getal PI is oneindig lang en kan alleen per benadering worden weergegeven. De beste benadering die op dit moment beschikbaar is, heeft 1.2 biljoen cijfers achter de komma. Een stuk preciezer dus dan de benadering van Archimedes.

Maar Archimedes had natuurlijk geen computers tot zijn beschikking. Archimedes gebruikte een slim model. Hij bedacht zich dat een veelhoek een benadering was van een cirkel, als je maar genoeg hoeken nam. In het plaatje hieronder zie je rechs bijvoorbeeld een achthoek. De lijnen hiervan wijken nog veel af van de cirkel, maar al een stuk minder dan de vijfhoek links.

Archimedes gebruikte uiteindelijk een veelhoek van 96 hoeken, maar was zich bewust dat dit nog altijd niet de perfecte cirkel zou zijn. Daarom tekende hij twee regelmatige veelhoeken. De eerste omsloot de cirkel en de tweede werd door de cirkel omsloten. Van allebei de 96-hoeken mat hij één zijde en vermenigvuldigde dit met 96. Hij wist nu de omtrek van de twee veelhoeken en concludeerde dat de omtrek van de cirkel (π dus) tussen de twee getallen in moest liggen.

Maar naast de pure wiskundige onderzoekingen was Archimedes vooral wapenontwerper. Hij maakte allerlei machines die bruikbaar waren bij oorlogsvoering. Archimedes is een veelzijdige man geweest die ook natuurkundige experimenten heeft gedaan en zijn resultaten noteerden in monografieën die helaas niet allemaal bewaard zijn gebleven.

Het bekendste verhaal over Archimedes lezen we bij Vitruvius. Archimedes kreeg een opdracht van de koning Hieroon. Deze koning had een gouden kroon laten maken en wilde weten of hij niet was opgelicht door de goudsmid. Archimedes moest een manier vinden om er achter te komen of de kroon van puur goud was. Om te ontspannen en over het probleem na te denken besloot Archimedes een bad te nemen.

Toen hij in bad ging liggen zag hij dat hij water steeg en dat bracht hem tot de oplossing. Hij sprong meteen uit bad en naakt rende hij naar het paleis van de koning, terwijl hij luid ‘Eureka! Eureka!’ uitriep. Goud heeft een grotere dichtheid dan zilver en heeft dus een kleiner volume. Hij nam de kroon van de koning en een gouden kroon van hetzelfde gewicht en plaatste deze allebei in een bak met water. De kroon van de koning zorgde voor een grotere stijging van het waterpeil en had dus een groter volume. Zo kon Archimedes aantonen dat de kroon niet van puur goud was gemaakt.

Volgens Plutarchus kwam Archimedes op een nogal brute manier aan zijn einde overigens. Hij zou druk bezig zijn geweest met wiskundige berekeningen toen hij hier bruut in werd gestoord door een Romeinse soldaat. Archimedes sprak de soldaat hier op aan en moest dat met de dood bekopen. De soldaat reageerde namelijk woedend en doorboorde de geleerde met zijn zwaard. Een droevig einde van een groot geleerde.

De afbeelding met de drie cirkels is afkomstig van wikipedia, het linker schilderij is van Fetti en het rechter schilderij is een detail van de School van Athene van Rafael (de kalende man is mogelijk Archimedes).

Reacties

16 gedachtes over “Eureka! – VKblog PI-dag

  1. weer een onderhoudende bijdrage.
    ik mag dat wel, informatief zonder pretenties.
    (ik zou wel ‘luit’ wijzigen in ‘luid’ vlak voor ‘eureka’)

    Geplaatst door lebonton | 14 maart 2009, 11:44
  2. @Jeroen: Mooie en informatieve bijdrage. En even genieten hoe jij het insluitingsprincipe van Archimedes zo helder weet te brengen. Chapeau!!
    Groet,
    Kokopelli

    Geplaatst door Kokopelli | 14 maart 2009, 11:47
  3. Ik ga het vandaag met belangstelling volgen. Voor mij een onbekende wereld als uitgesproken alpha-jongen.

    Geplaatst door Theodorus | 14 maart 2009, 11:54
  4. Een fijne en onderhoudende bijdrage – zoals we van je gewend zijn, Jeroen! 🙂
    Graag meegelezen, nog een fijne Pi-dag!
    Groet Bart

    Geplaatst door Bart | 14 maart 2009, 11:59
  5. Goede bijdrage met heel interresant verhaal.

    Geplaatst door antoinette duijsters | 14 maart 2009, 12:28
  6. @ Lebonton, bedankt voor je reactie en het opmerken van mijn fout. Het zijn van die dingen die me eigenlijk niet mogen gebeuren.
    @ Kokopelli, bedankt voor je reactie, een plaatje doet al veel bij de uitleg van insluitingsprincipe
    @ Theodorus, je wordt als alpha de laatste weken flink ‘verwend’ met beta-stukjes, eerst de wetenschapsdag en nu weer pi-dag. Leuk om te lezen dat je er zo voor open staat!
    @ Bart, jij ook nog een hele fijne pi-dag! Bedankt voor je reactie.
    @ Antoinette, bedankt voor je complimenten!

    Geplaatst door Jeroen de Baaij | 14 maart 2009, 13:04
  7. Ah, een waardige Baaijaanse bijdrage, Heer Jeroen, mijn dank daarvoor!
    Eveneens dank dat u er tijd voor heeft uitgetrokken. Wellicht kunt u door middel van alle gegevens die u zo bij elkander hebt verzameld, een pi-zonder werkstuk maken!
    Past u echter op voor Pi-ranha’s!

    Geplaatst door Chapeau Claque | 14 maart 2009, 13:10
  8. Haha, die laatste waarschuwing van Chapeau…! :))

    Geplaatst door Bart | 14 maart 2009, 13:16
  9. ‘Archimedes gebruikte een slim model.’
    Kom daar vandaag aan de dag nog maar eens om

    Geplaatst door paco | 14 maart 2009, 13:53
  10. Dit lees ik graag.

    Geplaatst door laila | 14 maart 2009, 14:21
  11. Mooi blog heb je er van gemaakt zeg. Prachtig hoe te lezen dat er al zo lang geleden en zo inventief/creatief gewerkt is om het raadsel op te lossen!

    Geplaatst door Aad Verbaast | 14 maart 2009, 17:18
  12. Johan, bedankt voor je waarschuwing, toen ik net pi-pi ging doen kwam ik nog een pi-ranha tegen
    Paco, slimme modellen zijn zeldzaam ja, maar daar worden modellen ook niet op afgerekend
    Laila, daar ben ik blij om 😉
    Aad, bedankt voor je reactie, ik ga meteen even aan jou bijdrage beginnen!

    Geplaatst door Jeroen de Baaij | 14 maart 2009, 17:58
  13. Blijkbaar word alles op VK-blog vluchtig gelezen maar de tweede gouden kroon die je noemt moet wel een zilveren kroon zijn van hetzelfde gewicht hoor, anders gaat de vlieger niet op, of eigenlijk onder.Reactie is geredigeerd

    Geplaatst door trekmoment | 14 maart 2009, 18:48
  14. Meneer Trekmoment, ik vrees toch dat u ongelijk heeft, een gouden kroon heeft een kleiner volume dan het volume van de kroon van de koning (er vanuitgaande dat de koning is opgelicht). En dus zorgt de kroon van de koning voor een grotere waterstijging.
    In vergelijking met een zilveren kroon zouden zowel de kroon van de koning als een echt gouden kroon voor minder stijging zorgen en dus zou er geen bewijs zijn geleverd.Reactie is geredigeerd

    Geplaatst door Jeroen de Baaij | 14 maart 2009, 18:58
  15. Als de koning, of Archimedes, niet wist of de kroon wel van zuiver goud was, van welke kroon wist hij/zij dat dan wel? Het gaat om het soortelijk gewicht, dus als je appels met peren wilt vergelijken moet je ook twee verschillende materialen gebruiken om een causaal verband te leggen. Dat hele kroonverhaal is een verromantisering van de wet van Archimedes, hij was zijn gewicht in lood waard, zo ontdekte hij hoe het zat.
    Trouwens, waar komt dat "Meneer" toontje vandaan? Klint een tikkeltje hooghartig.

    Geplaatst door trekmoment | 14 maart 2009, 19:31
  16. trekmoment, het was niet mijn bedoeling hooghartig te klinken, ik zal je tutoyeren om verdere verwarring te voorkomen.
    Ik ben het helemaal met je eens dat het verhaal van Archimedes geromantiseerd is, maar het komt dan ook uit secondaire bronnen en dat is juist ook wel een beetje de charme van dit soort verhalen.
    Je argument dat je van andere kronen ook niet zeker zou weten of het puur goud was, vind ik overigens niet zo sterk, want dan zou je ook van zilveren kronen kunnen afvragen of je wel zeker wist dat het puur zilver was.
    Toch bedankt voor je aandachtige lezing!

    Geplaatst door Jeroen de Baaij | 14 maart 2009, 20:04

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

Archief

Like //Vensters op Facebook!

Abonneer je op dit blog en ontvang een e-mailbericht bij elke nieuwe post!

Doe mee met 367 andere volgers

Creative Commons License
Op dit werk is een Creative Commons Licentie van toepassing.
%d bloggers liken dit: